四年级奥数解析(十八)加法原理与乘法原理(上)
《奥赛天天练》第16讲《加法原理》、第17讲《乘法原理》、第18讲《两种原理的综合运用》。这三讲将初步介绍计数研究中最基本、最常用的两个原理:加法原理和乘法原理。计数就是数数,即把一些对象的个数数出来。简单的计数可以一个一个地数。对于比较复杂的计数,一个一个地数很难,可以利用加法原理和乘法原理帮助我们计数。
加法原理:完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m1种不同的方法,在第二类方法中有m2种不同的方法,……,在第N类方法中有mn种不同的方法,那么完成这件工作共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
运用加法原理计数,关键在于合理分类,不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点,不同的问题,分类的标准往往不同,需要积累一定的解题经验。
乘法原理:完成一件工作共需N个步骤:完成第一个步骤有m1种方法,完成第二个步骤有m2种方法,…,完成第N个步骤有mn种方法,那么,完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数,关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤,各个步骤之间是相互联系的,任何一步的一种方法都不能完成此工作,必须连续完成这N步才能完成此工作;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此工作的方法也不同。
这两个基本原理是排列和组合的基础,与教材联系紧密(如四下《搭配的规律》),教学时要先通过生活中浅显的实例,如购物问题、行程问题、搭配问题等,帮助孩子理解两个原理,再让孩子学习运用原理解决问题。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题,在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题,正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理,可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。
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