四年级奥数解析(五)等差数列(上)
《奥赛天天练》第4讲《等差数列》、第5讲《等差数列求和》,帮助孩子进一步认识等差数列,学会运用等差数列的几个公式解决简单的数学问题。
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。如果用an表示数列的第n项,用Sn表示数列前n项所有数的和,则有以下公式:
通项公式为:an=a1+(n-1)d;
前n项求和公式:Sn=n(a1+an)÷2;
项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1;
所有项总和=(首项+末项)×项数÷2 ;
首项=总和×2÷项数-末项;
末项=总和×2÷项数-首项。
公差=(末项-首项)÷(项数-1)
辅导时,可以以最简单的自然数列为例,介绍等差数列中一些名词的含义,并利用具体数据,通过不完全归纳法,帮助孩子理解通项公式、项数公式和求和公式的推导过程,一定要在理解的基础上学会运用,切忌死记硬背。
以数列“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”为例,帮助孩子理解求和公式的原理:
这是个等差数列,首项为1,末项为10,公差为1,共有10项。数列和为:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。
如果我们把这个数列重复一遍插入原数列中,就可以得到一个新的20项的数列:“1、10、2、9、3、8、4、7、5、6、6、5、7、4、8、3、9、2、10、1”,这个数列的总和为:(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)+(6+5)+(7+4)+(8+3)+(9+2)+(10+1)=(1+10)×10。
新数列的和是原数列的2倍,所以:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)×10÷2。
把这个数列换成其它等差数列可以得到相同的验证:
数列和=(首项+末项)×项数÷2 ;
《奥赛天天练》第4讲,巩固训练,习题2
【题目】:
一只小虫沿笔直的树干跳着往上行,每跳一次都比上一次升高4厘米。它从离地面10厘米处开始跳,如果把这一处称为小虫第一次落脚点,那么它的第100个落脚点正好是树梢,这棵树高多少厘米?
【解析】:
小虫子第一次落脚点的高度为10厘米,后面每一次的落脚点都比前一个落脚点高4厘米,所有落脚点的高度形成一个首项为10、公差为4的等差数列,第100个落脚点的高度就是这棵树高度为:
10+(100-1)×4=406(厘米)。
《奥赛天天练》第4讲,拓展提高,习题1
【题目】:
下面的算式是按一定规律排列的,那么,第100个算式的得数是多少?
4+2,5+8,6+14,7+20,……
【解析】:
这一列算式中,每个算式的第一个数都比后一个算式的第一个数少1,每个算式的第二个数都比后一个算式的第二个数少6,所以,后面算式的和总比前一个算式的和多:1+6=7,所有算式的和组成了一个公差为7的等差数列。
首项即第一个算式的和为:4+2=6,则第100个算式的得数是:
6+(100-1)×7=699。
《奥赛天天练》第4讲,拓展提高,习题2
【题目】:
在124和245之间插入10个数以后,使它成为一个等差数列。这10个数中,最小的是几?最大的是几?
【解析】:
由题意可得这个等差数列首项为124,末项为245,项数为12。所以这个数列的公差为:(245-124)÷(12-1)=11
则插入的10个数中,最小的是:124+11=135;
插入的10个数中,最大的是:245-11=234。
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