三年级奥数解析(五)分类枚举
《奥赛天天练》第7讲《分类枚举》,就是依据一定的标准把题目的答案分为几种类型,一一列举出来。分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题,列举时要有序分类,保证答案既不遗漏又不重复,其中分类标准的确定是解题的关键,同一题因标准不同可能有不同的分类方法,好的分类方法会使解题过程变得更加简单。学会分类枚举,不仅可以解决本讲的问题,遇到更复杂问题时,我们也可以用列举的方法找出部分答案,然后在已有答案中发现规律,从而进一步寻求解题方案。
《奥赛天天练》第7讲,巩固训练,习题1
【题目】:
把10只鸽子关在3个同样的笼子里,使得每个笼子里都有鸽子,可以有多少种不同的放法?
【解析】:
这里笼子都是同样的,因此3只笼子是无序的。
因为10÷3=3……1,根据题中条件,可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只,不少于1只,我们可以这样分为三类:
一、鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子,共有4种放法:①1只、1只、8只;②1只、2只、7只;③1只、3只、6只;④1只、4只、5只。
二、鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子,共有3种放法:①2只、2只、6只;②2只、3只、5只;③2只、4只、4只。
三、鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子,共有1种放法:①3只、3只、4只。
所以共有放法:4+3+1=8(只)。
《奥赛天天练》第7讲,拓展提高,习题1
【题目】:
有一架天平和三只重量分别为1克,3克,6克的砝码,你知道用这架天平和这些砝码共能称出多少种重量吗?
【解析】:
这一题要在孩子学习了三上第三单元,认识了常见的称和质量单位后,再学习比较合适。如果超前完成,需要对孩子介绍一下天平的用法。
因为1克+3克+6克=10克,所以这架天平最重能称出10克,最轻能称出1克。因此这架天平最多能称出1克到10克之间的10种不同重量的物体,然后我们再对这10类情况进行验证:
①天平左边:物体 右边:1克砝码 能称出1克重的物体;
②天平左边:物体+1克砝码 右边:3克砝码 能称出2克重的物体;
③天平左边:物体 右边:3克砝码 能称出3克重的物体;
④天平左边:物体 右边:3克砝码+1克砝码 能称出4克重的物体;
⑤天平左边:物体+1克砝码 右边:6克砝码 能称出5克重的物体;
⑥天平左边:物体 右边:6克砝码 能称出6克重的物体;
⑦天平左边:物体 右边:6克砝码+1克砝码 能称出7克重的物体;
⑧天平左边:物体+1克砝码 右边:6克砝码+3克砝码 能称出8克重的物体;
⑨天平左边:物体 右边:6克砝码+3克砝码 能称出9克重的物体;
⑩天平左边:物体 右边:6克砝码+3克砝码+1克砝码 能称出10克重的物体。
在列举的过程中可以让孩子慢慢的领悟规律:有1克和3克的砝码,不仅可以称出1克和3克重的物体,还可以称出重量是1克和3克的和或差的物体,依此类推。
所以这架天平最多能称出10种不同重量的物体。
《奥赛天天练》第7讲,拓展提高,习题2
【题目】:
1997 的数字和是1+9+9+7=26,在小于2000的四位数中,数字和为26的除了1997外还有几个?
【解析】:
小于2000的四位数都是一千多,千位上都是1。数字和为26,26-1=25,个、十、百三位上的数字和为25。25-9-9=7,因此三个数位上数字最小不能小于7,最大不能大于9。我们根据百位上数字的大小分为三类:
一、百位上数字是7,有1个:1799;
二、百位上数字是8,有2个:1889、1898;
三、百位上数字是9,有3个:1979、1988、1997;(千位和百位上的数字确定后,十位上数字再按从小到大枚举出所有情况。)
所以符合条件的数共有6个,除了1997外,还有5个。
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