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《轨迹的探求》教学案例

[06-21 11:26:16]   来源:http://www.77xue.com  高三数学教案   阅读:8940
概要:一、教学背景:前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系,在学习这三种圆锥曲线的定义时他们的第二定义有一个共同的特点,都是满足这样的一个条件:动点P到定点和到定直线的距离的比为一个常数,那么,在其他的曲线中如果满足了一个条件,那怎样来求这样的曲线方程呢?而且求曲线的方程、通过方程研究曲线是解析几何的两大主要内容。那怎样探求轨迹。 二、教学设计:1、提出问题:如问题是数学的心脏,思维是问题的开始。我们先来看一个具体的问题:若动圆过定点A(-3,0),且和定圆B(x-3)2+y2=4外切,求动圆圆心P轨迹方程。(电脑显示)2、解决问题:教师:大家先思考,然后请位同学来回答解答过程。学生:(学生边解答,老师边板书)解:如图,设动圆P和定圆外切于N点,则。所以,点P的轨迹是以A,B为两焦点,半实轴长为1的双曲线的左支,其方程为。教师:下面我们检验解答结果,利用几何画板演示(一):拖动主动点N在圆B上转动,跟踪点P,最后保留点P的轨迹。 学生1(很快提出
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一、教学背景:前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系,在学习这三种圆锥曲线的定义时他们的第二定义有一个共同的特点,都是满足这样的一个条件:动点P到定点和到定直线的距离的比为一个常数,那么,在其他的曲线中如果满足了一个条件,那怎样来求这样的曲线方程呢?而且求曲线的方程、通过方程研究曲线是解析几何的两大主要内容。那怎样探求轨迹。 

二、教学设计:

1、提出问题:如问题是数学的心脏,思维是问题的开始。我们先来看一个具体的问题:若动圆过定点A(-3,0),且和定圆B(x-3)2+y2=4外切,求动圆圆心P轨迹方程。(电脑显示)

2、解决问题:

教师:大家先思考,然后请位同学来回答解答过程。

学生:(学生边解答,老师边板书)

解:如图,设动圆P和定圆外切于N点,则



所以,点P的轨迹是以A,B为两焦点,

半实轴长为1的双曲线的左支,其方程为



教师:下面我们检验解答结果,利用几何画板

演示(一):拖动主动点N在圆B上转动,跟踪点P,

最后保留点P的轨迹。

    学生1(很快提出):根据以上解答点P的轨迹应是双曲线一支,演示结果怎么是双曲线的两支呢?

学生2:另一支是动圆与定圆B内切时,动圆圆心P的轨迹。

教师:因此,若动圆过定点A,且和定圆B相切,动圆圆心P轨迹是双曲线,其方程为: 。

3、探究问题:

教师:若改变点A位置,过定点A且和定圆B相切的动圆圆心P轨迹是否还是双曲线呢?大家可以先猜测,然后动手操作几何画板演示:先拖动点A到某一位置后,再拖动主动点N在圆B上转动,跟踪点P,最后保留点P的轨迹。观察点A在不同位置时,动圆圆心点P的轨迹,然后作出总结。

学生:动圆圆心点P的轨迹可能是双曲线,椭圆,圆,或者射线。

教师:大家能找出它的理论根据吗?

学生:若点A在圆外,动圆与定圆B相切,则 ,所以点P的轨迹仍是以点A,B为两焦点的双曲线;

若点A在圆内(除点B外),动圆与定圆B只有内切,则 ,所以点P的轨迹是以点A、B为两焦点的椭圆;

若点A与点B重合,则点P的轨迹是以点B为圆心,以2为半径的圆;

若点A在圆B上,当动圆与定圆B外切时,由 ,则点P的轨迹是x轴上以点A为端点,向左的射线;当动圆与定圆B内切时,则点P的轨迹是x轴上以点A为端点,向右的射线。

教师:非常好!若把点看作是半径为0的圆,那么增大半径,此时与两圆(位置关系可变化)都相切的动圆圆心点P的轨迹是什么呢?继续增大圆的半径,让其趋向于无穷大,此时圆可看作是一条直线,那么与直线和定圆(位置关系可变化)分别相切的动圆圆心P的轨迹又将是什么?

教师:(将学生分成4人一组,每组选择一个问题进行探究)类似于上面的探究过程:先进行猜测,借助几何画板演示,再作出论证、归纳、总结。然后由每小组派一位代表发言,交流探究成果。

4、作业:

思考题:A、B是抛物线 上的两点,满足OA⊥OB。(O为坐标原点)求证:直线AB经过一个定点。

提示:将点O改为抛物线上的任意点,结论是否仍然成立?若将抛物线改为椭圆或双曲线结果又将如何?

三、教学反思:通过对问题的创设,培养了学生主动的发现问题解决问题的能力,充分调动了学生学习的主动性、积极性;通过对开放性问题的探讨过程,使学生掌握椭圆、双曲线、抛物线间的关系,理解圆锥曲线的统一性,同时培养了学生的合作能力及创新精神,有效地渗透了数学思想方法,发展了学生个性思维品质;在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,实现共同探究、教学相长的教学情境。利用计算机辅助教学,使结果更形象、更直观,更能调动学生的积极性。
 

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