高中数学教学中的“情境 问题 反思 应用”——《余弦定理》教学案例,标签：人教版高三数学教案,高三文科数学教案,http://www.77xue.com

　二　教学过程　

    1、设置情境

        自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20＆acute；，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。

2、提出问题

师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）

　    能，在三角形ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20＆acute；＝66°20＆acute；，求BC的长。

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师：能用正弦定理求解吗？为什么？

　　不能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。

师：这个问题的实质是什么？

   在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。

（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。　　　　

3、解决问题

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

　先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）

　可以先在直角三角形中试探一下。

　直角三角形中c2 = a2 + b2 （勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC边上的高

AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）

　师：垂足D一定在边BC上吗？

　不一定，当角C为钝角时，点D在BC的延长线上。

（分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）

   在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交

BC于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2，

在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, CD＝ACcosC

即AD＝bsinC, CD＝bcosC

又BD＝BC－CD,即BD＝a－bcosC

∴c2 = （bsinC）2 + （a－bcosC）2

    = b2sin2C + a2 －2abcosC + b2cos2C

        = a2 + b2 －2abcosC

同理a2 = b2 + c2 －2bccosA

    b2 = a2 + c2－2accosB

　  在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，

过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，

   在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2，

   在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π－C）, CD＝ACcos（π－C），   即AD＝bsinC, CD＝－bcosC，又BD＝BC＋CD,即BD＝a－bcosC

　∴c2 = （bsinC）2 + （a－bcosC）2 

　　     = b2sin2C + a2 －2abcosC + b2cos2C

 = a2 + b2 －2abcosC

同理a2 = b2 + c2 －2bccosA

    b2 = a2 + c2－2accosB


同理可证    a2 = b2 + c2 －2bccosA

            b2 = a2 +c2－2accosB

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